{"id":695,"date":"2020-04-09T01:14:22","date_gmt":"2020-04-09T01:14:22","guid":{"rendered":"http:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=695"},"modified":"2020-04-16T10:22:27","modified_gmt":"2020-04-16T10:22:27","slug":"non-la-courbe-du-nombre-de-cas-du-covid-19-nest-pas-exponentielle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=695","title":{"rendered":"Non, la croissance du nombre de cas du COVID-19 n&rsquo;est pas exponentielle"},"content":{"rendered":"\n<p>Comme dans cette vid\u00e9o de <a href=\"https:\/\/medium.com\/data-for-science\/epidemic-modeling-102-all-covid-19-models-are-wrong-but-some-are-useful-c81202cc6ee9\">L\u00e9o Grasset<\/a>, qui tient la cha\u00eene Dirty Biology, vous avez pu entendre de \u00ab\u00a0progression exponentielle\u00a0\u00bb du nombre de cas atteints par le SARS-CoV-2:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed-youtube wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Cette pand\u00e9mie, vue depuis 2021 - DBY #67\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bM7AOBxqjnE?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p>Que l&rsquo;on soit clair, une courbe exponentielle, c&rsquo;est \u00e7a: <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/vTmtFx2K\/exponentielle.png\" alt=\"\"\/><figcaption>La fonction exponentielle. Elle est <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_monotone\">croissante<\/a> et<a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_convexe\"> convexe.<\/a> Elle tend vers l&rsquo;infini et <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Croissance_exponentielle\">son taux de croissance est constant<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Or une courbe \u00e9pid\u00e9miologique n&rsquo;a pas du tout cette progression. Elle va d&rsquo;abord contaminer de plus en plus de personnes puis se r\u00e9sorber progressivement comme la courbe ci-dessous :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/VkZxtY1X\/Covid-19-curves-Phases-v3-850x510.jpg\" alt=\"\"\/><figcaption>Ceci est une courbe \u00e9pid\u00e9miologique. Elle est croissante puis d\u00e9croissante. Sa forme est au <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_concave\">concave<\/a> au centre (la phase 2) et <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_convexe\">convexe<\/a> sur ses queues (phases 1 et 3). Source: <a href=\"https:\/\/thespinoff.co.nz\/society\/09-03-2020\/the-three-phases-of-covid-19-and-how-we-can-make-it-manageable\/\">The Spinoff<\/a><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>On a une courbe concave, croissante puis d\u00e9croissante qui converge vers 0. Ce qu&rsquo;explique l\u2019\u00e9conomiste <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Richard_Baldwin_(%C3%A9conomiste)\">Richard Baldwin<\/a> dans son article intitul\u00e9 \u00ab\u00a0<em>It\u2019s not exponential: An economist\u2019s view of the epidemiological curve<\/em>\u00a0\u00bb accessible sur le site <a href=\"https:\/\/voxeu.org\/article\/it-s-not-exponential-economist-s-view-epidemiological-curve\">Voxeu<\/a>, non sans humour :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Il ne s&rsquo;agit pas d&rsquo;un processus de croissance exponentielle.  Pourquoi ? Si les zombies ne meurent jamais et ne se r\u00e9tablissent jamais, ils finissent par avoir du mal \u00e0 trouver de nouvelles victimes. De plus, les survivants non zombies commencent \u00e0 prendre des mesures de confinement extr\u00eames qui r\u00e9duisent le taux d&rsquo;infection &#8211; et produisent un grand spectacle. Le COVID-19 n&rsquo;est pas la maladie des zombies &#8211; ce n&rsquo;est pas une surprise &#8211; mais il peut nous aider \u00e0 r\u00e9fl\u00e9chir aux caract\u00e9ristiques \u00e9pid\u00e9miologiques du virus.  <br> <\/p><cite>Richard Baldwin<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p> La courbe \u00e9pid\u00e9miologique est repr\u00e9sent\u00e9e ci-haut avec une <a href=\"https:\/\/images.math.cnrs.fr\/La-courbe-en-cloche.html\">forme en cloche similaire \u00e0 une gaussienne<\/a>.  Il s&rsquo;agit d&rsquo;une simplification. C&rsquo;est vrai qu&rsquo;elle renseigne sur la probabilit\u00e9 d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9e (il y a plus de chances de tomber malade au moment du pic). N\u00e9anmoins, les courbes \u00e9pid\u00e9miologiques empiriques sont asym\u00e9triques vers la droite.  L&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie de COVID-19 d\u00e9marre assez rapidement mais elle met un certain temps \u00e0 s&rsquo;\u00e9teindre. La queue \u00e0 gauche est courte alors que celle \u00e0 droite \u00e0 tendance \u00e0 \u00eatre plus \u00e9tal\u00e9e. <a href=\"https:\/\/stats.stackexchange.com\/questions\/455202\/is-the-covid-19-pandemic-curve-a-gaussian-curve\">Vous pouvez vous r\u00e9f\u00e9rez \u00e0 cette discussion sur stack exchange pour plus d&rsquo;information<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p> La vid\u00e9o de L\u00e9o Grasset ajoute doublement \u00e0 la confusion :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Il parle d&rsquo;une progression exponentielle des cas de SARS-CoV-2 pendant toute la premi\u00e8re partie de la vid\u00e9o. Il faut attendre la <a href=\"https:\/\/youtu.be\/bM7AOBxqjnE\">13e minute<\/a> (sur 19) pour voir des courbes \u00e9pid\u00e9miologiques. C&rsquo;est au moment o\u00f9 il introduit un article du c\u00e9l\u00e8bre \u00e9pid\u00e9miologiste N<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Neil_Ferguson_(epidemiologist)\">eil Ferguson<\/a> et de son \u00e9quipe, de l&rsquo;Imperial college, pour parler de l\u2019efficacit\u00e9 des mesures de confinement.<\/li><li>Et L\u00e9o Grasset continue de parler de ph\u00e9nom\u00e8ne exponentiel m\u00eame apr\u00e8s avoir montr\u00e9 ces courbes \u00e9pid\u00e9miologiques. <\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Pourquoi cette confusion ?<\/h2>\n\n\n\n<p>Il est vrai que le d\u00e9but de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie ressemble \u00e0 une courbe exponentielle. On peut mod\u00e9liser son d\u00e9but comme celui d&rsquo;une <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Suite_g%C3%A9om%C3%A9trique\">suite g\u00e9om\u00e9trique<\/a>.Soit \\(U_n\\) une suite g\u00e9om\u00e9trique qui repr\u00e9sente le nombre de malades \u00e0 la p\u00e9riode n. Si un malade contamine \\(r\\) personnes, on peut dire que le nombre de personnes contamin\u00e9es \u00e0 la p\u00e9riode n (\\(U_n\\))  est le produit de \\(r\\) et du nombre de personnes contamin\u00e9es \u00e0 la p\u00e9riode pr\u00e9c\u00e9dente qui est n-1 (\\(U_{n-1}\\)). Soit:<\/p>\n\n\n\n\\(U_n = U_{n-1} \\times r\\)\n\n\n\n<p>\\(r\\) est aussi appel\u00e9 raison. On consid\u00e8re ici seulement des suites avec des valeurs positives. Si la raison est strictement sup\u00e9rieure \u00e0 1, la suite est dite \u00ab\u00a0divergente\u00a0\u00bb, elle croit ind\u00e9finiment. A l&rsquo;inverse, si la raison est strictement inf\u00e9rieure \u00e0 1, la suite va converger vers 0. Les personnes d\u00e9j\u00e0 famili\u00e8res avec l&rsquo;\u00e9pid\u00e9miologie noteront que la raison d&rsquo;une suite g\u00e9om\u00e9trique ressemble beaucoup au \\(r_0\\), <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Mod%C3%A8les_compartimentaux_en_%C3%A9pid%C3%A9miologie#Taux_de_reproduction_de_base_(R0)\">le taux de reproduction de base<\/a> d&rsquo;une maladie. <a href=\"http:\/\/serge.mehl.free.fr\/anx\/geo_expo.html\">La fonction exponentielle permet de g\u00e9n\u00e9raliser la suite g\u00e9om\u00e9trique au cas continu<\/a>. L&rsquo;int\u00e9r\u00eat de la mod\u00e9lisation continue est de pouvoir mod\u00e9liser un ph\u00e9nom\u00e8ne avec des courbes au lieu d&rsquo;utiliser des histogrammes. C&rsquo;est plus facile quantitativement \u00e0 utiliser quand on fait un mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Mod\u00e8les SI et SIR: expliquer la forme de la courbe \u00e9pid\u00e9miologique<\/h2>\n\n\n\n<p>Ici, on raisonne en mod\u00e8le SI. Il y a juste des personnes susceptibles d\u2019\u00eatre infect\u00e9es (S) ou d\u00e9j\u00e0 infect\u00e9es (I). En r\u00e9alit\u00e9, il y a des personnes qui se sont remises de la maladie (R). On parle de mod\u00e8le SIR. On peut repr\u00e9senter sous ces \u00e9quations simples en forme discr\u00e8te les \u00e9volutions de chaque variable \u00e0 la p\u00e9riode n au sein d&rsquo;une population N. La p\u00e9riode n peut \u00eatre mesur\u00e9e dans une unit\u00e9 de temps quelconque. Si on choisit la journ\u00e9e comme unit\u00e9 de temps, la p\u00e9riode n repr\u00e9sente la \u00e9ni\u00e8me journ\u00e9e. Maintenant, d\u00e9crivons les \u00e9quations de notre mod\u00e8le SIR discret.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le nombre de personnes contaminables (S)<\/h3>\n\n\n\n<p> Le nombre de personnes susceptible d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es \u00e0 la p\u00e9riode n (\\(S_n\\)) d\u00e9pend de la proportion de la population infect\u00e9e (\\(\\frac{I_{n-1}}{N} \\)) et du nombre \\(\\beta\\) qui mesure combien de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es sont infect\u00e9es par une personne atteinte du virus lors de la p\u00e9riode n :<\/p>\n\n\n\n\\(S_n = (1-\\beta\\times\\frac{I_{n-1}}{N})\\times\\,S_{n-1}\\)\n\n\n\n<p> A chaque p\u00e9riode, le nombre de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre infect\u00e9es diminue. On retranche le nombre de personnes infect\u00e9es. Pour conserver un mod\u00e8le simple, on garde le m\u00eame nombre moyen de personnes contamin\u00e9es pour chaque p\u00e9riode \\(\\beta\\). Si une p\u00e9riode est une journ\u00e9e, \\(\\beta\\) est le nombre de personnes que contamine une personne infect\u00e9e en moyenne par jour. Pour que le mod\u00e8le soit valide math\u00e9matiquement, il faut que \\(0&lt;S_n&lt;N\\) soit \\(0&lt;1-\\beta\\times\\frac{I_{n-1}}{N} &lt;1\\). Le nombre de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es ne peut pas \u00eatre n\u00e9gatif et il ne peut que d\u00e9cro\u00eetre. Rappelez-vous les zombies \u00e9voqu\u00e9s par Richard Baldwin plus haut. Les personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es ne peuvent faire la transition que vers l&rsquo;\u00e9tat infect\u00e9e. On repr\u00e9sente cette transition au niveau de la population avec l&rsquo;\u00e9quation suivante.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le nombre de personnes infect\u00e9es (I)<\/h3>\n\n\n\n<p> Le nombre de personnes infect\u00e9es \\(I_n\\) cro\u00eet avec le produit de le nombre de personnes contamin\u00e9es par une personne infect\u00e9e au cours d&rsquo;une p\u00e9riode, d\u00e9fini ci-haut (\\(\\beta\\)), et de la proportion du nombre de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es au sein de la population (\\(\\frac{S_{n-1}}{N} \\)) : <\/p>\n\n\n\n\\(I_n = (1+\\beta\\times\\frac{S_{n-1}}{N}-\\mu)\\times\\,I_{n-1}\\)\n\n\n\n<p>Le nombre de personnes infect\u00e9es \\(I_n\\) cro\u00eet avec le produit de la probabilit\u00e9 de contamination d&rsquo;un individu d\u00e9fini ci-haut (\\(\\beta\\)) et de la proportion du nombre de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre contamin\u00e9es au sein de la population (\\(\\frac{S_{n-1}}{N} \\)). Par contre, \\(I_n\\) d\u00e9cro\u00eet avec le taux de personnes remises de la maladie (\\(\\mu\\)). Par d\u00e9finition, \\(0&lt;\\mu&lt;1\\). On peut calculer le nombre moyen de p\u00e9riode, M, o\u00f9 une personne infect\u00e9e sera remise de sa maladie. On en d\u00e9duit que :<\/p>\n\n\n\n\\(M\\times\\mu = 1 \\)\n\n\n\n<p>Ce qui donne :<\/p>\n\n\n\n\\(M = \\frac{1}{\\mu}\\)\n\n\n\n<p>Le ratio \\(\\frac{1}{\\mu}\\) mesure la dur\u00e9e d&rsquo;infection. Si elle est en nombre de jours, une personne contamin\u00e9e sera infect\u00e9e et donc contaminante pendant \\(\\frac{1}{\\mu}\\) jours.<\/p>\n\n\n\n<p> Dans ce mod\u00e8le, la seule issue possible est la gu\u00e9rison. Il s&rsquo;agit d&rsquo;une simplification. On ne mod\u00e9lise pas ici le nombre de morts (ce que d&rsquo;autres mod\u00e8les comme le mod\u00e8le SEIRD, \u00e9voqu\u00e9 plus bas, font). <\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le nombre de personnes remises (R)<\/h3>\n\n\n\n<p>Le nombre de personnes remises de la maladies est mod\u00e9lis\u00e9e par l&rsquo;\u00e9quation suivante :<\/p>\n\n\n\n\\(R_n = R_{n-1} + \\mu\\times\\,I_{n-1}\\)\n\n\n\n<p>Le nombre de personnes remises de la maladie \\(R_n\\) est croissant. Il ne peut qu&rsquo;augmenter. On raisonne \u00e0 population constante N. Cette derni\u00e8re doit \u00eatre constante \u00e0 la somme des populations dans les diff\u00e9rents \u00e9tats possibles (susceptibles d&rsquo;\u00eatre infect\u00e9s, infect\u00e9s ou remis) :<\/p>\n\n\n\n\\(S_n+I_n+R_n=N\\)\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Croissance et d\u00e9croissance d&rsquo;une \u00e9pid\u00e9mie dans le mod\u00e8le SIR<\/h3>\n\n\n\n<p>La raison de la suite g\u00e9om\u00e9trique \\(I_n\\) est \u00e9gale \u00e0 \\(1+\\beta\\times\\frac{S_{n-1}}{N}-\\mu\\).On l&rsquo;appelle aussi facteur de reproduction \u00e0 la p\u00e9riode n (\\(r_n\\)). Soit :<\/p>\n\n\n\n\\(r_n = 1 + \\beta\\times\\frac{S_{n-1}}{N}-\\mu \\)\n\n\n\n<p>   On remarque que \\(I_n\\) devient d\u00e9croissant quand:<\/p>\n\n\n\n\\(I_n&lt;I_{n-1}\\)\n\n\n\n<p>L&rsquo;\u00e9quation ci-haut d\u00e9crit l&rsquo;\u00e9tat o\u00f9 le nombre de personnes infect\u00e9es \u00e0 une p\u00e9riode n (\\(I_n \\)) est inf\u00e9rieure au nombre de la p\u00e9riode pr\u00e9c\u00e9dente (\\(I_{n-1}\\)). Ce qui correspond \u00e0 un taux de reproduction \u00e0 la p\u00e9riode n inf\u00e9rieur \u00e0 1:<\/p>\n\n\n\n\\(r_n&lt;1\\)\n\n\n\n<p>Cela nous donne le r\u00e9sultat suivant :<\/p>\n\n\n\n\\(\\frac{S_{n-1}}{N} &lt; \\frac{\\mu}{\\beta}\\)\n\n\n\n<p>\\(\\frac{S_{n-1}}{N}\\) est le ratio de personnes susceptibles d\u2019\u00eatre infect\u00e9es \u00e0 la p\u00e9riode n-1. Plus de personnes deviennent infect\u00e9es dans le temps et par la suite gu\u00e9ries de cette maladie, plus le nombre de personnes susceptibles d\u2019\u00eatre infect\u00e9es va baisser. Si \\(\\mu\\) et \\(\\beta\\) sont constants, le taux de reproduction est d\u00e9croissant dans le temps. C&rsquo;est pour cette raison que l&rsquo;on obtient une courbe en forme de cloche croissante puis d\u00e9croissante, et non exponentielle. Pour repr\u00e9senter l&rsquo;effet du confinement, on peut faire varier le facteur de contamination (\\(\\beta\\)). Le confinement diminue cette valeur. A l&rsquo;inverse, le d\u00e9confinement l&rsquo;augmente d&rsquo;o\u00f9 un potentiel effet rebond. C&rsquo;est cette valeur que les \u00e9pid\u00e9miologistes font varier dans le temps. \\(\\mu\\) peut aussi \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 dans le but de mesurer l&rsquo;efficacit\u00e9 d&rsquo;un syst\u00e8me de soins \u00e0 traiter les gens infect\u00e9s. Le ratio \\(\\frac{\\mu}{\\beta}\\) d\u00e9termine <u>le taux de l&rsquo;immunit\u00e9 de groupe<\/u>. Cette valeur est le point d&rsquo;inflexion \u00e0 partir de laquelle le nombre de cas va d\u00e9cro\u00eetre pour converger vers 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Le facteur de reproduction de base (\\(r_0\\)) est un cas particulier du taux de reproduction qu&rsquo;on a d\u00e9fini pour une p\u00e9riode n (\\(r_n\\)). Il s&rsquo;agit du taux de reproduction quand toute la population est saine. Dans ce cas, on obtient :<\/p>\n\n\n\n<p> \u00e0 l&rsquo;exception d&rsquo;une personne est infect\u00e9e. C&rsquo;est le taux de reproduction \u00e0 la p\u00e9riode 0 d&rsquo;o\u00f9 le nom de \\(r_0\\). Dans la sp\u00e9cification discr\u00e8te de notre mod\u00e8le, cela donne:<\/p>\n\n\n\n\\(r_0 = 1 + \\beta -\\mu\\)\n\n\n\n<p>Le facteur de reproduction de base peut \u00eatre exprim\u00e9e en fonction du <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Mod%C3%A8les_compartimentaux_en_%C3%A9pid%C3%A9miologie#Nombre_de_reproduction_de_base_(R0)\">nombre reproduction de base (le fameux R0)<\/a>. Pour ne pas confondre avec la suite \\(R_n\\), on notera le nombre de reproduction de base \\(\\rho_0\\) (\\(\\rho\\) est la lettre grecque <em>rho<\/em>). On d\u00e9finit le nombre de reproduction de base tel que la moyenne du nombre de personnes contamin\u00e9es par une personne infect\u00e9e. Il s&rsquo;agit du produit entre le nombre moyen de personnes contamin\u00e9es par jour (\\(\\beta\\)) et de la dur\u00e9e moyenne de contamination (\\(\\frac{1}{\\mu}\\)). On obtient :<\/p>\n\n\n\n\\(\\rho_0 = \\frac{\\beta}{\\mu}\\)\n\n\n\n<p>L\u2019immunit\u00e9 de groupe \u00e9tant atteinte quand \\(\\frac{S_{n-1}}{N} &lt; \\frac{\\mu}{\\beta}\\), on peut r\u00e9\u00e9crire \\(\\frac{S_{n-1}}{N} &lt; \\frac{1}{\\rho_0}\\). Les \u00e9pid\u00e9miologistes utilisent le \\(\\rho_0\\) car son inverse donne directement l\u2019immunit\u00e9 de groupe et en m\u00eame temps, il donne le nombre moyen de personnes contamin\u00e9es en plus quand on introduit une personne infect\u00e9e dans la population. On obtient la relation suivante entre le facteur de reproduction de base et le nombre de reproduction de base:<\/p>\n\n\n\n<p>\\(r_0 = \\mu\\times(\\frac{1}{\\mu}+\\rho-1)\\)<br>Et en n:<\/p>\n\n\n\n\\(r_n = \\mu\\times(\\frac{1}{\\mu}+\\rho\\frac{S_{n-1}}{N}-1)\\)\n\n\n\n<p>R\u00e9exprimer le facteur de reproduction en fonction du nombre de reproduction fait ressortir le ratio \\(\\frac{1}{\\mu}\\) qui nous donne le nombre de jours o\u00f9 une personne infect\u00e9e peut contaminer les personnes susceptibles de l\u2019\u00eatre.  Le taux de reproduction en n (\\(\\rho_n\\)) est d\u00e9fini comme :<\/p>\n\n\n\n\\(\\rho_n = \\rho_0\\times\\frac{S_{n-1}}{N}\\)\n\n\n\n<p>On constate que quand l\u2019immunit\u00e9 de groupe est atteinte. Ce qui est v\u00e9rifi\u00e9e en \\(\\frac{S_{n-1}}{N}=\\frac{\\mu}{\\beta}\\), on constate que :<\/p>\n\n\n\n\\(r_n=\\rho_n=1\\)\n\n\n\n<p>Utiliser le facteur ou le nombre de reproduction de base est donc \u00e9quivalent.  Math\u00e9matiquement, cela s&rsquo;explique par le fait que \\(r_n\\) est une fonction croissante de \\(\\rho_n\\). Dans le mod\u00e8le continu, il est plut\u00f4t coutume d&rsquo;utiliser le nombre de reproduction de base. Pour notre mod\u00e8le discret, on se r\u00e9f\u00e8re au facteur de reproduction de base car il nous permet d&rsquo;approximer le nombre de personnes infect\u00e9es simplement par une suite g\u00e9om\u00e9trique en d\u00e9but d&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Approximation du nombre de personnes infect\u00e9es en d\u00e9but d&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie<\/h3>\n\n\n\n<p>Supposons que nous introduisons seulement une personne infect\u00e9e en p\u00e9riode 0 soit \\(I_0=1\\). Nous avons la p\u00e9riode 1 le facteur de reproduction suivant :<\/p>\n\n\n\n\\(r_1 = 1+ \\beta\\times\\frac{N-1}{N} -\\mu\\)\n\n\n\n<p>Maintenant faisons l&rsquo;hypoth\u00e8se suivante, N est tr\u00e8s grand donc \u00e7a revient \u00e0 dire que :<\/p>\n\n\n\n\\(\\frac{N-1}{N}\\approx 1\\)\n\n\n\n<p>Dans ce cas, \\(r_1\\approx r_0\\) et \\(I_1 \\approx r_0\\times I_0 \\approx r_0\\) <\/p>\n\n\n\n<p>Ce sera pareil pour tout entier naturel k o\u00f9 le ratio \\(\\frac{N- r^k_0 }{N}\\approx 1\\). Ce qui fait que pour k petit, on peut approximer \\(I_n\\) avec la une suite g\u00e9om\u00e9trique ayant comme raison \\(r_0\\) tel que :<\/p>\n\n\n\n<p>\\(I_k \\approx I_0 \\times r^k_0 \\approx r^k_0 \\) si \\(\\frac{N- r^k_0 }{N}\\approx 1\\) <\/p>\n\n\n\n<p>Pour la version en temps continu du mod\u00e8le SIR, l\u2019\u00e9quivalent est la fonction exponentielle. Or le nombre de personnes infect\u00e9es d\u00e9cro\u00eet quand le taux de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre infect\u00e9es \u00e0 une p\u00e9riode n (\\(\\frac{S_{n}}{N}\\)) est inf\u00e9rieur au ratio \\(\\frac{\\mu}{\\beta}\\). Ce dernier varie donc dans le sens oppos\u00e9 \\(r_0\\). Plus le \\(r_0\\)  est grand, plus le pic de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie correspondra \u00e0 une proportion de personnes susceptibles d&rsquo;\u00eatre infect\u00e9es qui est faible. Et donc par corollaire, le pic de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie correspondra \u00e0 un taux de personnes ayant \u00e9t\u00e9 infect\u00e9es dans la population plus \u00e9lev\u00e9. Ce pic est l&rsquo;immunit\u00e9 de groupe d\u00e9fini plus haut par le ratio \\(\\frac{\\mu}{\\beta}\\). Plus une maladie se soigne facilement (\\(\\mu\\) est \u00e9lev\u00e9), plus le \\(r_0\\) sera bas et donc plus le taux de personnes qui aura contract\u00e9 la maladie sera faible pour atteindre l&rsquo;immunit\u00e9 de groupe. A l&rsquo;inverse, plus le facteur de contamination (\\(\\beta\\)) est grand, plus le \\(r_0\\) sera \u00e9lev\u00e9 et donc plus le taux de personnes qui aura contract\u00e9 la maladie sera grand pour atteindre l&rsquo;immunit\u00e9 de groupe. <\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.franceculture.fr\/player\/export-reecouter\/extrait\/114f48f9-ba46-49f6-ac1d-acb4011ab110\" scrolling=\"no\" width=\"481\" height=\"137\" frameborder=\"0\"><\/iframe><a href=\"https:\/\/www.franceculture.fr\/emissions\/radiographies-du-coronavirus\/covid-19-immunite-de-groupe-mission-impossible\"><br> R\u00e9sum\u00e9 sur le concept d\u2019immunit\u00e9 de groupe par Nicolas Martin.<\/a>\n\n\n\n<p>La mod\u00e9lisation discr\u00e8te dans ce billet est une adaptation du cas continu vulgaris\u00e9 par <a href=\"https:\/\/medium.com\/data-for-science\/epidemic-modeling-101-or-why-your-covid19-exponential-fits-are-wrong-97aa50c55f8\">l&rsquo;excellent article de Bruno Gon\u00e7alves <\/a>intitul\u00e9 \u00ab\u00a0<em>Epidemic Modeling 101: Or why your CoVID-19 exponential fits are wrong<\/em>\u00ab\u00a0. On y trouve une pr\u00e9sentation du mod\u00e8le SIR avec plein de graphiques (dont la repr\u00e9sentation du mod\u00e8le SIR pr\u00e9sente dans la vid\u00e9o de L\u00e9o Grasset \u00e0 <a href=\"https:\/\/youtu.be\/bM7AOBxqjnE?t=739\">12:19<\/a>). <a href=\"https:\/\/medium.com\/data-for-science\/epidemic-modeling-102-all-covid-19-models-are-wrong-but-some-are-useful-c81202cc6ee9\">Bruno Goncalves a aussi publi\u00e9 une 2e partie <\/a>intitul\u00e9e \u00ab\u00a0<em>Epidemic Modeling 102: All CoVID-19 models are wrong, but some are useful<\/em>\u00a0\u00bb o\u00f9 il pr\u00e9sente le mod\u00e8le SEIRD qui permet de mod\u00e9liser les personnes asymptotiques et les d\u00e9c\u00e8s.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/qBnW0tbh\/image.jpg\" alt=\"\"\/><figcaption><a href=\"https:\/\/twitter.com\/BaldwinRE\/status\/1247805158756499457\">Graphique de Richard Baldwin mis en libre acc\u00e8s<\/a> pr\u00e9sentant les deux types d&rsquo;erreur possible de pr\u00e9diction avant le pic de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie: l&rsquo;erreur lin\u00e9aire au d\u00e9but qui sous-estime et l&rsquo;erreur exponentielle qui surestime.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Les limites des mod\u00e8les doivent nous inciter au recul<\/h2>\n\n\n\n<p>C&rsquo;est aussi l&rsquo;autre point qui m&rsquo;a choqu\u00e9 dans la vid\u00e9o de L\u00e9o Grasset. Il ne prend aucune distance quand il pr\u00e9sente ses pr\u00e9dictions du mod\u00e8le SIR qu&rsquo;il utilise. C&rsquo;est un mod\u00e8le jouet &#8230; De plus, le vid\u00e9aste parle des personnes d\u00e9c\u00e9d\u00e9es mais elles ne sont pas prises en compte dans le mod\u00e8le SIR (contrairement au modele SEIRD par exemple qui mod\u00e9lisent explicitement le nombre personnes asymptomatiques et d\u00e9c\u00e9d\u00e9es). Son manque de rigueur se retrouve aussi quand il cite le tr\u00e8s approximatif Tomas Pueyo qui justement fait une simple extrapolation exponentielle avec des fourchettes tr\u00e8s larges.<\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.franceculture.fr\/player\/export-reecouter?content=f8c1e530-02a3-4d58-a37f-f6700eb4ea89\" scrolling=\"no\" width=\"481\" height=\"137\" frameborder=\"0\"><\/iframe><br>\n<a href=\"https:\/\/www.franceculture.fr\/emissions\/radiographies-du-coronavirus-la-chronique\/radiographies-du-coronavirus-du-lundi-16-mars-2020\">Critique de l&rsquo;article medium de Tomas Pueyo, Coronavirus: why you must act now.<\/a>\n\n\n\n<p>L\u00e9o Grasset semble avoir surtout \u00e9t\u00e9 inspir\u00e9 par le 2e article de Tomas Pueyo, intitul\u00e9 \u00ab\u00a0<a href=\"https:\/\/medium.com\/@tomaspueyo\/coronavirus-the-hammer-and-the-dance-be9337092b56\">Coronavirus: the Hammer and the Dance<\/a>\u00ab\u00a0,qui est plus nuanc\u00e9 que le premier. Il a d\u00e9couvert depuis les mod\u00e8les SIR et il a une biographie vari\u00e9e. N\u00e9anmoins, il continue de parler de croissance exponentielle. Par contre, on retrouve toujours le sensationnalisme irritant de Pueyo comme dans son graphique 15 ci-dessous :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/pX9yJ5vd\/1-h85-Av-Gz-HB7lk3v2wg8-Sxlg.png\" alt=\"\"\/><figcaption>\u00ab\u00a0Aucun de ces nombres n&rsquo;est connu aujourd&rsquo;hui\u00a0\u00bb \u00e9crit Tomas Pueyo. Cette image est purement illustrative.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>  C&rsquo;est quoi l\u2019int\u00e9r\u00eat de faire un classement de mesures qui ne repose sur rien ? On peut aussi \u00eatre sceptique devant son mod\u00e8le d&rsquo;aide \u00e0 la d\u00e9cision au graphique 16 qui pr\u00e9conise un R0 optimal en fonction du co\u00fbt suppos\u00e9e des mesures. Au-del\u00e0 d&rsquo;\u00eatre une analyse co\u00fbt-b\u00e9n\u00e9fice frustre (de simples chiffrages mon\u00e9taires au lieu d&rsquo;une analyse de la satifasaction), l&rsquo;exemple est compl\u00e8tement ad-hoc comme l&rsquo;auteur le pr\u00e9cise lui-m\u00eame. Par contre, en lisant l&rsquo;article de Tomas Pueyo, je suis tomb\u00e9 sur <a href=\"https:\/\/necsi.edu\/review-of-ferguson-et-al-impact-of-non-pharmaceutical-interventions\">l&rsquo;article de Shen, Taleb et Bar-Yam qui critique f\u00e9rocement le mod\u00e8le de l\u2019\u00e9quipe de Ferguson et plus generalement les modeles de type SIR<\/a>. Je ne vais pas rentrer dans ce d\u00e9bat qui d\u00e9passe le billet de ce blog. Mais un paragraphe des auteurs est tr\u00e8s pertinent:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Si les efforts de mod\u00e9lisation de la r\u00e9ponse sociale sont importants, l&rsquo;omission d&rsquo;aspects critiques de la r\u00e9ponse donne des r\u00e9actions incorrectes. Se concentrer sur les d\u00e9tails mais utiliser des hypoth\u00e8ses incorrectes donne de mauvais conseils politiques. Lorsque des vies sont en jeu, il est essentiel que la science adh\u00e8re \u00e0 des normes plus \u00e9lev\u00e9es.<\/p><cite>Shen, Taleb et Bar-Yam.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p> Vous pouvez aussi retrouver une critique des travaux de Neil Ferguson et des mod\u00e8les SIR dans <a href=\"https:\/\/www.lemonde.fr\/idees\/article\/2020\/04\/08\/roland-salmon-les-donnees-pour-soutenir-la-politique-du-confinement-font-defaut_6035949_3232.html\">la tribune du m\u00e9decin \u00e9pid\u00e9miologiste britannique, le Dr Roland Salmon dans le journal Le Monde<\/a>. Ce dernier souligne les nombreuses erreurs de pr\u00e9dictions pass\u00e9es de Neil Ferguson et de son \u00e9quipe de l&rsquo;imperial college.<\/p>\n\n\n\n<p>L&rsquo;utilisation de mod\u00e8les avec des pr\u00e9dictions apocalyptiques finit par inqui\u00e9ter au sein m\u00eame des soci\u00e9t\u00e9s savantes. Martin Goodson, qui tient la chaire de Data Science au sein de la Royal Statistical Society, a publi\u00e9 un article intitul\u00e9 \u00ab\u00a0<em>All models are wrong, but some are completely&nbsp;wrong<\/em>\u00a0\u00bb sur le <a href=\"https:\/\/rssdss.design.blog\/2020\/03\/31\/all-models-are-wrong-but-some-are-completely-wrong\/\">blog de la chaire<\/a>. Il reprend l&rsquo;exemple d&rsquo;un article catastrophiste du Financial Times qui proposait une mod\u00e9lisation aboutissant \u00e0 un r\u00e9sultat stup\u00e9fiant: la moitie de la population britannique pourrait \u00eatre infect\u00e9e par le COVID-19. Il suffisait de changer les valeurs d&rsquo;un param\u00e8tre pour obtenir des r\u00e9sultats radicalement diff\u00e9rents, le taux de cas s\u00e9v\u00e8res parmi les personnes infect\u00e9es. Il s&rsquo;est av\u00e9r\u00e9 que le Financial Times avait choisi comme hypoth\u00e8se un taux anormalement haut pour justifier son article sensationnaliste. Selon Martin Goodson, le risque est de donner du grain \u00e0 moudre aux sceptiques et de se retrouver dans la m\u00eame situation que les climatologues qui font face \u00e0 une opposition tr\u00e8s virulente. C&rsquo;est le cas aux \u00c9tats-Unis et au Br\u00e9sil o\u00f9 les chefs d\u2019\u00c9tat semblent attir\u00e9s par de fausses th\u00e9ories sur le virus. Martin Goodson sugg\u00e8re six r\u00e8gles:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>R\u00e8gle 1. Les scientifiques et les journalistes doivent exprimer le niveau d&rsquo;incertitude associ\u00e9 \u00e0 une pr\u00e9vision.<\/li><li>R\u00e8gle 2. Les journalistes doivent obtenir des citations d&rsquo;autres experts avant de publier.<\/li><li>R\u00e8gle 3. Les scientifiques doivent d\u00e9crire clairement les donn\u00e9es et hypoth\u00e8ses essentielles de leurs mod\u00e8les.<\/li><li>Article 4. \u00catre aussi transparent que possible.<\/li><li>Article 5. Les d\u00e9cideurs politiques devraient utiliser plusieurs mod\u00e8les pour informer les politiques.<\/li><li>Article 6. Indiquer quand un mod\u00e8le a \u00e9t\u00e9 produit par une personne sans ant\u00e9c\u00e9dents en mati\u00e8re de maladies infectieuses.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n<p>Views: 2462<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Comme dans cette vid\u00e9o de L\u00e9o Grasset, qui tient la cha\u00eene Dirty Biology, vous avez pu entendre de \u00ab\u00a0progression exponentielle\u00a0\u00bb du nombre de cas atteints par le SARS-CoV-2: Que l&rsquo;on soit clair, une courbe exponentielle, c&rsquo;est \u00e7a: Or une courbe \u00e9pid\u00e9miologique n&rsquo;a pas du tout cette progression. 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