{"id":796,"date":"2020-04-16T10:28:19","date_gmt":"2020-04-16T10:28:19","guid":{"rendered":"http:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=796"},"modified":"2020-04-16T20:58:48","modified_gmt":"2020-04-16T20:58:48","slug":"covid-19-une-simulation-numerique-simple","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=796","title":{"rendered":"COVID-19: une simulation num\u00e9rique simple"},"content":{"rendered":"\n<p><a href=\"https:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=695\">Mon pr\u00e9c\u00e9dent article sur le mod\u00e8le SIR \u00e9tait purement th\u00e9orique<\/a>. On m&rsquo;a fait remarquer qu&rsquo;une simulation num\u00e9rique serait bien pour rendre concret les implications de ce mod\u00e8le. C&rsquo;est d\u00e9sormais chose faite et je vais vous exposer les r\u00e9sultats ici. Cet article sera sans \u00e9quation pour le garder le plus accessible possible. Toutes les \u00e9quations sous-jacentes sont dans l&rsquo;article th\u00e9orique. Vous pouvez t\u00e9l\u00e9charger le tableur <a href=\"https:\/\/cloud.debian-economist.eu\/index.php\/s\/wZY6SkMELZatNzP\">ici<\/a>. C&rsquo;est possible de le modifier facilement vous-m\u00eames. <\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Pr\u00e9sentation br\u00e8ve du mod\u00e8le sans \u00e9quation<\/h2>\n\n\n\n<p>Le mod\u00e8le SIR est dit \u00ab\u00a0compartimental\u00a0\u00bb car la population est divis\u00e9e en compartiments:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Les personnes susceptibles d\u2019\u00eatre infect\u00e9es (compartiment S)<\/li><li>Les personnes infect\u00e9es ( compartiment I)<\/li><li>Les personnes remises de la maladie ( compartiment R)<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Les gens du compartiment S ne peuvent aller que dans le compartiment I. Et ceux du compartiment I ne peuvent aller que dans le compartiment R. On ne compte pas explicitement les morts. <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/3w86YMzz\/87217.jpg\" alt=\"\"\/><figcaption>Dynamique des transitions entre compartiments dans le mod\u00e8le SIR. Source: <a href=\"https:\/\/insightmaker.com\/insight\/87217\/C06-pid-mie\">Insight Maker<\/a><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Nous avons besoin de trois valeurs de d\u00e9part :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>La population totale. On prend la population fran\u00e7aise dans cette simulation donc <strong>65 millions<\/strong>.<\/li><li>La dur\u00e9e moyenne o\u00f9 on va consid\u00e9rer une personne comme contaminante. Pour des raisons pratiques, on va prendre la dur\u00e9e moyenne d&rsquo;incubation qui est de <strong>5 jours<\/strong>. C&rsquo;est une simplification mais elle se justifie. Quand la personne ne ressent pas les sympt\u00f4mes, c&rsquo;est l\u00e0 qu&rsquo;elle va \u00eatre contaminante. Une fois malade, la personne s&rsquo;isole donc elle contamine beaucoup moins de monde. Cette dur\u00e9e de 5 jours correspond \u00e0 ce qui se fait dans les simulations num\u00e9riques en recherche sur le COVID-19. J&rsquo;ai pris inspiration sur <a href=\"https:\/\/papers.ssrn.com\/sol3\/papers.cfm?abstract_id=3568156\">ce papier<\/a> et <a href=\"https:\/\/web.stanford.edu\/~chadj\/slides-covid.pdf\">cet autre travail de recherche<\/a>.<\/li><li>Le nombre de reproduction de base (le fameux \\(R_0\\) que l&rsquo;on appelle \\(\\rho_0\\) dans <a href=\"https:\/\/debian-economist.eu\/wp\/?p=695\">l&rsquo;article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a> pour \u00e9viter la confusion avec le compartiment R). Il s&rsquo;agit du nombre moyen de personnes contamin\u00e9es par une personne infect\u00e9e pendant toute la dur\u00e9e o\u00f9 elle est infect\u00e9e.  Elle est de <strong>2,5<\/strong> pour le COVID-19.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Le nombre de reproduction base repr\u00e9sente les entr\u00e9es dans le compartiment I pendant une p\u00e9riode donn\u00e9e. On ne peut pas comparer des nombres de reproduction de base de diff\u00e9rentes maladies. Les dur\u00e9es de contamination par une personne infect\u00e9e ne sont pas les m\u00eames. Pour pouvoir comparer, il faut calculer le nombre de personnes que contamine une personne infect\u00e9e en une journ\u00e9e. Si on reprend les \u00e9quations de notre mod\u00e8le SIR, le nombre de personnes infect\u00e9es par jour est multipli\u00e9 par environ <strong>1,3 <\/strong>en d\u00e9but d&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie. Je dis bien environ car en r\u00e9alit\u00e9 ce nombre d\u00e9cro\u00eet comme on le verra plus tard.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Les r\u00e9sultats de la simulation<\/h2>\n\n\n\n<p>L&rsquo;ampleur de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie peut \u00eatre r\u00e9sum\u00e9e par les statistiques suivantes<\/p>\n\n\n\n<table class=\"wp-block-table\"><tbody><tr><td>Statistiques<\/td><td>Nombre      <\/td><td>Nombre de jours  <\/td><td>Pourcentage de la population              <\/td><\/tr><tr><td>Personnes non infect\u00e9es<\/td><td>6112635<\/td><td>174<\/td><td>9.40<\/td><\/tr><tr><td> Personnes contamin\u00e9es                                                            <\/td><td>58887365                      <\/td><td>174<\/td><td>90.60<\/td><\/tr><tr><td> Pic \u00e9pid\u00e9mique<\/td><td>16189408<\/td><td>69<\/td><td>24.91<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n<p>On observe que 6 112 635 personnes vivant en France ne seront jamais atteint par le virus, soit 9,40% de la population. Tout le reste de la population a \u00e9t\u00e9 contamin\u00e9e. Le pic \u00e9pid\u00e9mique est atteint en 69 jours avec un nombre total de 16 189 408 personnes infect\u00e9es ce jour l\u00e0 soit un quart de la population. Sachant que 15% des personnes infect\u00e9es sont hospitalis\u00e9es et qu&rsquo;il y a 1% environ de d\u00e9c\u00e8s, on imagine bien les d\u00e9g\u00e2ts catastrophiques si ce scenario se produisait.<br><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/x82PwJFQ\/simulation-lineaire.png\" alt=\"\"\/><figcaption>Ce graphique repr\u00e9sente la r\u00e9partition de la population fran\u00e7aise lors de la simulation de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie. L\u2019ordonn\u00e9e repr\u00e9sente la population fran\u00e7aise et l&rsquo;abcisse le temps, mesur\u00e9 en nombre de jours.  <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>On peut aussi pr\u00e9senter ce graphique avec une \u00e9chelle logarithmique. Les \u00e9carts ne sont plus en valeur mais en proportion. On peut plus facilement repr\u00e9senter l\u2019\u00e9volution de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/tRBZQncz\/simulation-log.png\" alt=\"\"\/><figcaption>La progression en forme de droite du nombre de personnes infect\u00e9es montre son \u00e9volution multiplicative. Dans cette simulation le nombre de personnes infect\u00e9es est multipli\u00e9 par deux tous les deux jours et demi en moyenne avant le pic. On voit que le nombre de personnes infect\u00e9es d\u00e9cro\u00eet plus lentement apr\u00e8s le pic \u00e9pid\u00e9mique que sa vitesse de croissance avant le pic \u00e9pid\u00e9mique.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>L\u2019\u00e9volution du nombre de personnes infect\u00e9es en forme de segment, sauf au sommet qui est arrondi, montre qu&rsquo;on peut approximer le d\u00e9but de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie avec une fonction exponentielle. En gros, on peut multiplier par 1,3 (le facteur de reproduction de base) le nombre de personnes infect\u00e9es en d\u00e9but d&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie tous les jours.<br><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/P5sdBtd4\/fit-exponentielle-ct.png\" alt=\"\"\/><figcaption>On voit que l&rsquo;approximation exponentielle en vert approxime bien l\u2019\u00e9volution du nombre de personnes infect\u00e9es en jaune.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>N\u00e9anmoins, la fonction exponentielle croit sans limite, ce qui n&rsquo;est pas le cas de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie. La population est fixe. Il y a progressivement de moins en moins de personnes \u00e0 infecter. M\u00e9caniquement, cela freine l&rsquo;expansion de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie jusqu\u2019\u00e0 ce que le pic soit atteint et que le nombre de personnes infect\u00e9es d\u00e9cro\u00eet pour converger vers 0. Cette divergence est exprim\u00e9e par le graphique suivant :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/63k9twdt\/fit-exponentielle-pic.png\" alt=\"\"\/><figcaption>L&rsquo;aire bleue claire repr\u00e9sente la divergence entre l&rsquo;approximation exponentielle et le nombre de personnes infect\u00e9es.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Le ph\u00e9nom\u00e8ne d&rsquo;une \u00e9pid\u00e9mie n&rsquo;est pas exponentielle \u00e0 proprement parler. Les nombre et facteur de reproduction d\u00e9croissent en fonction du taux. C&rsquo;est juste qu&rsquo;au d\u00e9but de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie, ils d\u00e9croissent tr\u00e8s lentement, comme le montre ce tableau:<\/p>\n\n\n\n<table class=\"wp-block-table\"><tbody><tr><td>Facteur de reproduction <br><\/td><td>Nombre de reproduction<\/td><td>Nombre de jours<\/td><\/tr><tr><td>1.3<\/td><td>2.5<\/td><td>0<\/td><\/tr><tr><td>1.29999999<\/td><td>2.49999996<\/td><td>1<\/td><\/tr><tr><td>1.29999999<\/td><td>2.49999994<\/td><td>2<\/td><\/tr><tr><td>1.29999998<\/td><td>2.49999992<\/td><td>3<\/td><\/tr><tr><td>1.29999998<\/td><td>2.49999988<\/td><td>4<\/td><\/tr><tr><td>1.29999997<\/td><td>2.49999984<\/td><td>5<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n<p>On repr\u00e9sente cette \u00e9volution des facteurs et nombre graphiquement ci-dessous :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/nz7yKmDf\/reproduction-facteur-nombre.png\" alt=\"\"\/><figcaption>Les propri\u00e9t\u00e9s math\u00e9matiques font que le facteur et le taux de reproduction sont \u00e9gaux pour la valeur 1. Les deux notions sont \u00e9quivalentes.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Je voudrais attirer sur une limite de ce mod\u00e8le SIR. Il y a une extr\u00eame sensibilit\u00e9 aux param\u00e8tres initiaux. Avec un nombre de reproduction de base, nous avons 58 887 365 de personnes contamin\u00e9es. Avec un nombre de reproduction de 2,4, la simulation donne 57 966 860, soit 900 000 personnes en moins environ. Et avec une valeur de 2,6, on obtient 59 684 736 soit 800 000 de plus, l\u2019agglom\u00e9ration toulousaine en gros. <\/p>\n\n\n\n<p>Il est possible d&rsquo;ajouter d&rsquo;autres compartiments comme les d\u00e9c\u00e8s et le nombre de personnes hospitalis\u00e9es pour rendre le mod\u00e8le SIR plus r\u00e9aliste. <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed-twitter wp-block-embed is-type-rich is-provider-twitter\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<blockquote class=\"twitter-tweet\" data-width=\"550\" data-dnt=\"true\"><p lang=\"fr\" dir=\"ltr\">Pour revenir aux mod\u00e8les \u00e0 SIR, on peut les complexifier pour mieux coller \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 en ajoutant des \u00e9tats :<br>?? E pour les individus infect\u00e9s et non infectieux<br>?? Un \u00e9tat de quarantaine<br>?? Une immunit\u00e9 inn\u00e9e (ou vaccinale)<br>?? les d\u00e9c\u00e8s<br>?? varier la population au cours du temps <a href=\"https:\/\/t.co\/2ysSTlk8vs\">pic.twitter.com\/2ysSTlk8vs<\/a><\/p>&mdash; TheFrenchEpidemiologist?? ?? (@frenchepidemio) <a href=\"https:\/\/twitter.com\/frenchepidemio\/status\/1250091525490565123?ref_src=twsrc%5Etfw\">April 14, 2020<\/a><\/blockquote><script async src=\"https:\/\/platform.twitter.com\/widgets.js\" charset=\"utf-8\"><\/script>\n<\/div><figcaption>Tweet de \u00e9pid\u00e9miologiste Thibault Fiolet pr\u00e9sentant les extensions possibles du mod\u00e8le SIR. Le tweet contient le sch\u00e9ma pr\u00e9sent\u00e9 ci-dessous :<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/XJntnsY1\/EVkf-N7-SWo-AEU7-Lq.jpg\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Cette flexibilit\u00e9 des mod\u00e8les compartimentaux permet de les adapter pour mod\u00e9liser les situations souhait\u00e9es. Neanmoins, comme le soulignent Chen Shen, Nassim Nicholas Taleb et Yaneer Bar-Yam dans une revue du mod\u00e8le compartimental de l&rsquo;\u00e9pid\u00e9miologiste Neil Ferguson, les mod\u00e8les SIR ne prennent pas en compte plusieurs caract\u00e9ristiques du monde r\u00e9el :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Celles-ci comprennent (1) des dynamiques locales interactives significatives et des restrictions de voyage qui ne peuvent pas \u00eatre vues \u00e0 partir de quantit\u00e9s agr\u00e9g\u00e9es ou de moyennes entre les emplacements g\u00e9ographiques, (2) des distributions non normales du nombre d&rsquo;infections par personne (\u00e9v\u00e9nements de super propagation) ainsi que la p\u00e9riode d&rsquo;infection, et (3) des valeurs dynamiques ou stochastiques de param\u00e8tres qui proviennent de variations dans l&rsquo;\u00e9chantillonnage des distributions ainsi que l&rsquo;impact de l&rsquo;\u00e9volution des efforts de r\u00e9action sociale. <\/p><cite>Chen Shen, Nassim Nicholas Taleb et Yaneer Bar-Yam<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p>Le 3e point est important car il souligne que le mod\u00e8le SIR (notamment dans la version pr\u00e9sent\u00e9e ici) ne montre pas comment les individus r\u00e9agissent \u00e0 l&rsquo;\u00e9pid\u00e9mie. Heureusement, il existe d&rsquo;autres mod\u00e8les pour pallier aux limites des mod\u00e8les compartimentaux du type SIR.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i.postimg.cc\/4y8jHmMQ\/image.png\" alt=\"\"\/><figcaption><a href=\"https:\/\/twitter.com\/T_Fiolet\/status\/1249831848911527936\">Pr\u00e9sentation des diff\u00e9rents types de mod\u00e8le \u00e9pid\u00e9miologie par \u00e9pid\u00e9miologiste Thibault Fiolet<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>La pr\u00e9sentation des mod\u00e8les existants en \u00e9pid\u00e9miologie d\u00e9passent le sujet de cet article. Je vous renvoie \u00e0 cette vid\u00e9o de Thibault Fiolet qui a une <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC5HUj4ZgYoIXU_eonLQxbtg\">super cha\u00eene<\/a> sur YouTube de nutrition et d&rsquo;\u00e9pid\u00e9miologie:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed-youtube wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"PR\u00c9DIRE L&#039;\u00c9VOLUTION D&#039;UNE \u00c9PID\u00c9MIE ? Croissance exponentielle, mod\u00e8les compartimentaux et en r\u00e9seaux\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/NanMoM8l6Co?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n<p>Views: 486<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Mon pr\u00e9c\u00e9dent article sur le mod\u00e8le SIR \u00e9tait purement th\u00e9orique. On m&rsquo;a fait remarquer qu&rsquo;une simulation num\u00e9rique serait bien pour rendre concret les implications de ce mod\u00e8le. C&rsquo;est d\u00e9sormais chose faite et je vais vous exposer les r\u00e9sultats ici. Cet article sera sans \u00e9quation pour le garder le plus accessible possible. 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