COVID-19 : Quelle est la probabilité d’être vraiment malade si l’on est testé positif ?

Sur le site de l’université du Genève, on peut lire ceci :

La probabilité d’être détecté COVID positif (en lien avec la charge virale) va dépendre de la durée des symptômes et de la sévérité de la condition mais également de la qualité de prélèvement du frottis naso-pharyngé. Plusieurs études chinoises ont évalué les propriétés du frottis nasopharyngé-PCR en fonction d’un gold standard sous-optimal (anomalies CT, cas COVID-19 confirmé, au moins 1 PCR positive).


Sur la base de ces études de mauvaise qualité, la sensibilité du test, c’est-à-dire la probabilité qu’un test réalisé sur une personne malade se révèle positif a été estimée entre 56 et 85% (faux négatifs entre 35 et 44%). En estimant une spécificité (probabilité qu’un test réalisé sur une personne saine s’avère négatif) du test de 99% (1% de faux positif) :


Nos collègues lausannois ont calculé la probabilité qu’un individu soit réellement infecté en cas de test positif (valeur prédictive positive) ainsi qu’il ne soit pas infecté en cas de test négatif (valeur prédictive négative). Ces probabilités changent en fonction de la prévalence de la maladie. 

Probabilité pré-test(prévalence supposée de la maladie dans la population)Valeur prédictive positive (VPP)Probabilité que l’individu ait le COVID-19 si le test est positifValeur prédictive négative (VPN)Probabilité que l’individu n’ait pas le COVID-19 si le test est négatif
10%0.86-0.900.95-0.98
20%0.92-0.940.92-0.97
30%0.97-0.990.88-0.95
50%0.98-0.990.69-0.85
“Frottis nasoopharyngé” dans COVID-19: Les stratégies ambulatoires, Unité des Internistes Généralistes et Pédiatres (UIGP) de l’université de Genève

Ce que montre le tableau ci-haut, c’est que la fiabilité du test dépend de la prévalence de la maladie dans la population. Plus la prévalence est forte, plus il y a de chance qu’un résultat positif soit vrai mais qu’un résultat négatif soit faux. Ce qui est plutôt logique. Pour calculer, ces probabilités, il faut décomposer les probabilités de base, celles d’être négatif et positif. On sait que :

Probabilité d’être malade + probabilité d’être sain = 1 (ou 100%)
[Équation numéro 1]

On est soit malade, soit pas malade. En langage de probabilité, on dit que ce sont des états “complémentaires” car ils permettent de décomposer tous l’univers des possibles. Si vous êtes testés, on peut faire la même chose pour le résultat:

Probabilité d’un résultat positif + probabilité d’un résultat négatif = 1 (ou 100%)
[Équation numéro 2]

Maintenant, on peut introduire une nouvelle notion : la probabilité conditionnelle. Supposons que je sois positif, le résultat est soit vrai (malade sachant que je suis positif) soit faux (pas malade sachant que je suis positif). Le dernier cas correspond à un faux positif. On obtient la décomposition suivante :

Probabilité d’être testé positif sachant qu’on est malade (vrai positif) X probabilité d’être malade (prévalence) + Probabilité d’être testé positif sachant qu’on est sain (faux positif) X probabilité d’être sain = probabilité d’être positif
[Équation numéro 3]

La probabilité d’être malade correspond à la prévalence de la maladie qui correspond à la proportion de malades au sein de la population. On va supposer que la probabilité de faux positif est de 1% (et donc de vrai négatif est de 99%) conformément aux données dont on dispose. La probabilité d’être malade est la prévalence. La probabilité d’être malade si on est testé positif est :

Probabilité d’être malade sachant qu’on est testé positif = Probabilité d’être testé positif sachant qu’on est malade (vrai positif) X probabilité d’être malade / probabilité d’être positif
[Équation numéro 4]

Les connaisseurs reconnaîtront le théorème de Bayes. La probabilité d’être malade sachant qu’on est testé positif est appelée valeur prédictive positive. D’après l’équation numéro 1, on sait que :

Probabilité d’être sain = 1 – probabilité d’être malade (prévalence)
Probabilité d’être vrai positif = 1 – probabilité d’être faux négatif
Probabilité d’être vrai négatif = 1 – probabilité d’être faux positif

Il suffit de connaître trois probabilités pour faire notre calcul: la prévalence et le taux de faux positif. Faisons les hypothèses suivantes:

VariablesValeur
Probabilité d’être malade (prévalence)2%
Probabilité d’être faux positif1%
Probabilité d’être faux négatif40%

La probabilité d’être testé positif, selon l’équation numéro 3, est alors de 2,18%. On voit de suite qu’il y a plus de gens testés positifs que de gens malade puisque la prévalence est de 2%. Si on reprend l’équation 4, on note que 55% des personnes testées positives sont vraiment malades. Il s’agit de la valeur prédictive positive. Dans la population, on aura 1,2% de personnes positives testées malades (vrais positifs) et 0,98% de personnes saines testées positives (faux positifs). On retrouve bien un total de 2,18% de personnes testées positives.
Cependant, c’est la probabilité de faux négatif qui est à l’origine de la polémique sur la fiabilité des tests. Environ 40% des résultats négatifs seraient faux. On peut calculer de la même façon la probabilité d’être malade sachant qu’on est testé négatif en permutant les termes de l’équation 4 :

Probabilité d’être malade sachant qu’on est testé négatif = Probabilité d’être testé négatif sachant qu’on est malade (faux négatif) X probabilité d’être malade / probabilité d’être négatif
[Équation numéro 5]

Selon l’équation 5, la probabilité d’être malade sachant qu’on est testé négatif est de 0,82% pour un taux de prévalence de 2%. La probabilité d’être sain quand on est testé négatif est donc de 99,18%, c’est ce que l’on appelle la valeur prédictive négative. On note que l’on a des valeurs qui correspondent aux calculs des chercheurs de l’université de Genève. Pour un taux de prévalence de 10%, on obtient une valeur prédictive positive de 87% et une valeur prédictive négative de 96%. Ci-dessous, vous pouvez voir évoluer les valeurs prédictives selon le taux de faux négatif :

Vous pouvez cliquer ici pour agrandir l’image. La prévalence est en abscisse. La valeur prédictive (la probabilité) en ordonnée. Les courbes des valeurs prédictives positives et négatives sont respectivement vertes et rouges. Les curseurs représentent Le taux de faux positif (fp) et le taux de faux négatif (fn). Les deux courbes de valeur prédictive évoluent dans cette image selon le taux de faux négatif (fn).

Vous pouvez ce graphique pour retrouver en grand ici pour jouer avec une version interactive. Pour conclure, je citerai les économistes pour illustrer les implications du problème représenté par la fiabilité des tests PCR:

PCR et faux négatifs
Supposons que le gouvernement veuille utiliser des tests PCR pour surveiller les travailleurs dans certains lieux/industries où la transmission peut potentiellement être très élevée. Le gouvernement veut éviter une nouvelle propagation du virus et permet donc aux personnes de travailler sur place uniquement si elles ne sont pas infectées. Dans une telle situation, le principal problème est celui des erreurs de résultats faussement négatifs, qui se produisent lorsqu’un test PCR suggère que l’individu n’est pas infecté, alors qu’il l’est en réalité.

Le taux des erreurs de résultats faussement négatifs qui peut être toléré dépend de l’immunité présente dans le système (et plus généralement du nombre de réplications). Si le gouvernement apprend, par exemple, que dans une région particulière, l’immunité est élevée, il devrait alors être moins préoccupé par les tests PCR faussement négatifs. Toutefois, dans les régions où l’immunité n’est pas encore suffisamment développée, il s’agit alors d’une réelle préoccupation. Dans cette situation, il est important de disposer de mesures précises de la fiabilité des tests. Par conséquent, à cette fin, le gouvernement ne devrait pas utiliser un test présentant un taux d’erreur de résultats faussement négatifs élevé, car un test avec un taux important d’erreurs de résultats faussement négatifs ne serait pas assez fiable pour permettre au travailleur de reprendre le travail.

PCR et évolutivité
Un autre problème lié au PCR est l’évolutivité du résultat du test : un individu peut être négatif le premier jour de l’infection mais positif le troisième jour. Ainsi, si une personne est testée alors qu’elle vient d’être infectée et que le résultat est négatif, elle passera toute sa période de contagiosité à proximité des autres.Cela crée des problèmes similaires à celui soulevé ci-dessus. Si l’immunité de la population est suffisante, ce n’est pas un problème majeur, mais si elle est faible, il est important de limiter l’apparition de ces cas, ce qui peut être fait par une procédure de test répétée sur le même individu.

Andrea Galeotti, Paolo Surico, Jakub Steiner,L’intérêt des tests, Voxeu.org, 23/04/2020

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